§21 Матричная алгебра

697 Даны матрицы А и В размера k x m и m x l соответственно. Найти произведение АВ.

698 Дана квадратная матрица порядка n. Получить матрицу A².

699 Даны квадратные матрицы А и В порядка n. Получить матрицу АВ-ВА

700 Дана квадратная матрица A порядка n. Получить матрицу АВ; элементы матрицы В вычисляются по формуле:
a)

б)

в)
(i, j = 1, ..., n)

701 Даны квадратная матрица А порядка n и вектор b c n элементами. Получить вектор:
а) Ab;
б) A²b;
в) (A - E)b, где Е - еденичная матрица порядка n.

702 Дана квадратная матрица порядка n. Получить вектор Ab, где b-вектор, элементы которого вычисляются по формуле

703 Даны квадратная матрица A порядка n, векторы x и у с n элементами. Получить вектор A(x+y).

704 Даны квадратные матрица А,В и С порядка n. Получить матрицу (А+В)С.

705 Даны квадратные матрицы А и В порядка n. Получить матрицу А(В-Е)+С, где Е единичная матрица порядка n, а элементы матрицы С вычисляются по формуле
706 Пусть даны квадратная матрица А порядка m и натуральное число n; требуется найти Aⁿ. Алгоритм основанный на непосредственном применении формулы Aⁿ = A•A•...•A (n сомножителей), слишком разорителен Например A⁴ экономичнее вычислять как (A²)². Идея одного достаточно экономного алгоритма вычисления Aⁿ заключена в следующем: если n=2k, то Aⁿ=(A²)^k; если же n=2k+1, то Aⁿ=(A²)^k*A. Cтепень с показателем k вычисляется с учётом этих же соображений. Итак, надо разделить n на 2 с остатком: n=2k+l (0 ≤ l ≤ 1), потом это же проделать с k и т.д. Эти действия приводят, как известно, к построению двоичной записи n. Алгоритм, основанный на этой идее , состоит в том, что последовательно вычисляются A^α_°, A^α_¹α_°, A^{α _iα_i-1...α_¹α_°} , где α_iα_i-1...α_¹ α_° - двоичная запись числа n. Для этого вычисляется, цифра за цифрой, двоичная запись n и, параллельно, степень за степенью A⁽²⁰⁾, A⁽²¹⁾, A⁽²²⁾, ... - каждая следующая степень получается из предыдущей возведением в квадрат. Подсчитывается произведение тех из вычисленных степеней, для которых соответствующая цифра двоичного представления равна 1. Например, запись 9 в двоичной системе есть 1001 (9=1 8+0 4+0 2+1); для вычисления A⁹ достаточно найти A² A⁴ A⁸ (3 умножения), а затем определить А*A⁸ (1 умножение). Преимущество этого алгоритма в сравнении с простейшим состоит в том, что простейший алгоритм требует числа умножений, растущего как линейная функция от n, а здесь число умножений, грубо говоря, пропорционально количеству цифр числа n или двоичному логарифму n. Это преимущество весьма ощутимо при работе с матрицами (из-за трудоемкости каждого умножения), хотя, разумеется, это алгоритм может быть использован и для вычисления степени любого числа. Написать программу, реализующую предложенный алгоритм.

707 Дана квадратная матрица А порядка 5. Получить матрицу A¹⁵ (см. задачу 706).

708 Даны квадратная матрица А порядка m, натуральное число n. Получить матрицу E + A + A² + ... + Aⁿ, где Е - единичная матрица порядка m.

709 Даны квадратная матрица А порядка m, натуралное число n, действительные числа p_n,p_{n - 1},...,p₀. Полчить матрицу p_nAⁿ + p_{n - 1}A^{n - 1} + ... + p₁A + p₀E, где Е - единичная матрица порядка m.

710 Дана матрица А размера m x n. Получить транспонированную матрицу А* (ее размер - n x m).

711 Дана матрица А:
а) размера m x m;
б) размера m x n.
Получить матрицу АA*(ее размер-m x m).

712 Дана квадратная матрица А порядка m. Получить матрицы 1/2(A+A*) и 1/2(A-A*).

713 Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, расположенных на главной диагонали. Даны квадратная матрица порядка m, натурально число n. Вычислить следы матриц A, A², ..., Aⁿ .

714 Комплексная матрица Z представляется парой X,Y действительных матриц так, что Z = Х + iY. Даны деиствительные квадратные матрицы A, В, С и D порядка m. Найти произведение двух комплексных матриц А + iB и С + iD, т. е. найти действительные квадратные матрицы Х и Y порядка m такие, что Х+iY=(A + iB)(С + iD).

715 Пусть для квадратной матрицы A, имеющей порядок n, существует обратная матрица A^-1. Тогда, рассматривая элементы матрицы A^-1 как неизвестные величины, из соотношения A*A^-1=E, где Е-единичная матрица порядка n, можно получить систему n² линейных уравнений с n² неизвестными. Найти матрицу этой системы и вектор, опрeделяющий ее правую часть, считая, что неизвестные элементы матрицы A^-1 пронумерованы так, что сначала пo порядку идут элементы первой строки, затем-второй и т. д. Считать, что A - заданная матрица порядка 4; в ответ должны получиться квадратная матрица и вектор порядка 16.

716 Правая треугольная матрица A порядка n заданa в виде последовательности (n+1)n/2 чисел: сначала идет n элементов первой строки, затем n-1 элемент второй строки, начиная со второго элемента, и т. д. (из последней, n-й строки берется только n-й элемент). Кроме этой последовательности дан вектор b с n элементами. Найти вектор Аb.

717 Две правые треугольные матрицы А и В порядка n заданы так, как описано в предыдущей задаче. Получить в аналогичном виде:

а) матрицу АВ;
б) матрицу А(Е + В²), где Е-единичная матрица порядка n.

718 Симметричная квадратная матрица A порядка n задана последовательностью n(n+1)/2 чисел, аналогично правой треугольной матрице (см. задачу 716). Кроме этой последовательности дан вектор b с n элементами. Найти вектор Аb.

719 Симметричные квадратные матрицы А и В порядка n заданы последовательностями из n(n+1)/2 чисел, аналогично правым треугольным матрицам (см. задачу 716). Получить в аналогичном виде:

а) матрицу АВ;
б) матрицу A² - B².

Предыдущая глава

К началу

Следующая глава