Измерение времени
Преобразование между вращающейся и инерциальной системами отчета

$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\mat}[1]{\vec{#1}}$ $\newcommand{\vecg}[1]{\pmb{#1}}$ $\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$ $\newcommand{\pprime}{{\prime\prime}}$ $\renewcommand{\leq}{\leqslant}$ $\renewcommand{\geq}{\geqslant}$ $\DeclareMathOperator{\si}{s}$ $\DeclareMathOperator{\co}{c}$ $\DeclareMathOperator{\atan2}{atan2}$

Измерение времени

Преобразование дат

Время представляется в расчетах в двух формах: календарных дат и юлианских дней. Календарные даты удобны для задания исходных данных и вывода результатов расчетов, тогда как для выполнения вычислений необходима равномерная шкала времени со сквозной нумерацией суток. Такой способ записи времени называется системой юлианских дат. Юлианская дата JD (Julian Date) представляет собой число средних солнечных суток, отсчитанных от полудня 1 января 4713 г. до н. э [1].

Чтобы уменьшить число значащих цифр, необходимых для точного задания времени, пользуются модифицированными юлианскими датами

\begin{equation} \textrm{MJD} = \textrm{JD} - 2400000.5 . \end{equation}

Начало суток при подсчете модифицированных юлианских дат передвинуто на полночь и, таким образом, совпадает с началом обычных гражданских суток. Модифицированные юлианские даты отсчитываются от полночи 17 ноября 1858 г.

Вычисление модифицированной юлианской даты по календарной дате

Пусть для заданной календарной даты $Y$ — номер года, $M$ — номер месяца (1 — для января, 2 — для февраля и т. д., 12 — для декабря), и $D$ — день месяца.

Если $M < 3$, то заменяем $Y$ на $Y - 1$, и $M$ на $M + 12$. Другими словами, если исходная дата относится к январю или февралю, то они рассматриваются как 13-й и 14-й месяцы предыдущего года.

Искомое значение модифицированной юлианской даты MJD есть

\begin{equation} \textrm{MJD} = 365\cdot Y - 679004 + b + \textrm{INT}(30.6001\cdot(M+1)) + D + d , \label{MJD} \end{equation}

где $\textrm{INT}(x)$ — целая часть числа $x$,

\begin{equation} d = (Hour+Min/60.0+Sec/3600.0) / 24.0 , \end{equation}

— доля суток, $Hour$, $Min$, $Sec$ — количество часов, минут и секунд соответственно, прошедших с полночи рассматриваемой календарной даты.

Расчет параметра $b$ зависит от того, к периоду действия какого календаря относится рассматриваемая календарная дата. Для дат по юлианскому календарю (до 4 октября 1582 г. включительно) $b$ вычисляется по формуле

\begin{equation} b = -2 + \textrm{INT}((Y+4716)/4) - 1179 . \end{equation}

Для дат по григорианскому календарю $b$ равно

\begin{equation} b = \textrm{INT}(Y/400)-\textrm{INT}(Y/100)+\textrm{INT}(Y/4) . \end{equation}

Рассмотрим алгоритм расчета MJD для календарных дат, лежащих в интервале между 1 марта 1900 г. и 28 февраля 2100 г. [3] (приводится по [2])

Пусть:

\begin{equation} Y = Y - 1900, \quad M = M - 3. \end{equation}

Если $M < 0$, то

\begin{equation} Y=Y-1, \quad M=M+12. \end{equation}

Модифицированная юлианская дата вычисляется по формуле

\begin{equation} \begin{aligned} \textrm{MJD} &= 365\cdot Y + 15078 + \textrm{INT}(Y/4) + \textrm{INT}(30.6\cdot M+0.5), \\ \textrm{MJD} &= \textrm{MJD} + D + (Hour+Min/60.0+Sec/3600.0) / 24.0 - 0.125. \end{aligned} \end{equation}

Проверка: онлайн-программа пересчета дат

Вычисление календарной даты по модифицированной юлианской дате

Вычислим целую часть юлианской даты по модифицированной юлианской

\begin{equation} a = \textrm{INT}(\textrm{MJD}+2400001.0); \end{equation}

Если $a < 2299161$ (т. е. дата относится к периоду действия юлианского календаря), то

\begin{equation} \begin{aligned} b &= 0, \\ c &= a + 1524. \end{aligned} \end{equation}

В противном случае (дата относится к григорианскому календарю)

\begin{equation} \begin{aligned} b &= \textrm{INT}((a-1867216.25)/36524.25), \\ c &= a + b - \textrm{INT}(b/4) + 1525. \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} d &= \textrm{INT}((c-122.1)/365.25) , \\ e &= 365\cdot d + d/4 , \\ f &= \textrm{INT}((c-e)/30.6001) . \end{aligned} \end{equation}

День $D$, месяц $M$ и год $Y$ вычисляются по формулам

\begin{equation} \begin{aligned} D &= c - e - \textrm{INT}(30.6001\cdot f), \\ M &= f - 1 - 12\cdot\textrm{INT}(f/14), \\ Y &= d - 4715 - \textrm{INT}((7+M)/10). \end{aligned} \end{equation}

Введем обозначения

\begin{equation} \begin{aligned} Hours &= 24.0\cdot(\textrm{MJD}-\textrm{INT}(\textrm{MJD})), \\ x &= (Hours-Hour)*60.0. \end{aligned} \end{equation}

Тогда число часов $Hour$, минут $Min$ и секунд $Sec$, прошедших от полночи рассматриваемой календарной даты вычисляется как

\begin{equation} \begin{aligned} Hour &= \textrm{INT}(Hours), \\ Min &= \textrm{INT}(x), \\ Sec &= (x-Min)\cdot 60.0. \end{aligned} \end{equation}

Алгоритм расчета календарных дат по модифицированным юлианским, дающий правильные результаты для интервала календарных дат со 2 марта 1900 г. по 27 февраля 2100 г. [2].

\begin{equation} \begin{aligned} rd &= \textrm{INT}(\textrm{MJD}+0.125)-15078.0, \\ nd &= \textrm{INT}(rd), \\ nz &= \textrm{INT}(rd/1461.01), \\ na &= nd-1461\cdot nz, \\ nb &= \textrm{INT}(na/365.25). \end{aligned} \end{equation}

Отсюда

\begin{equation} Y=4\cdot nz + nb + 1900 . \end{equation}

Если $na=1461$, то

\begin{equation} M = 2, \quad D = 29, \end{equation}

иначе

\begin{equation} \begin{aligned} nz &= na-365\cdot nb, \\ ma &= \textrm{INT}((nz-0.5)/30.6), \\ M &= ma + 3, \\ D &= nz-\textrm{INT}(30.6\cdot M - 91.3). \end{aligned} \end{equation}

Если $M>12$, то

\begin{equation} M=M-12, \quad Y=Y+1. \end{equation}

Далее вычисляются часы, минуты и секунды

\begin{equation} \begin{aligned} sp &= 24.0\cdot((\textrm{MJD}+0.125)-\textrm{INT}((\textrm{MJD}+0.125)), \\ Hour &= \textrm{INT}(sp), \\ sp &= 60.0\cdot (sp-Hour), \\ Min &= \textrm{INT}(sp), \\ Sec &= 60.0\cdot (sp - Min). \end{aligned} \end{equation}

Динамическое и всемирное время

В астрономии используется целый ряд систем счета времени, которые можно разделить на два класса: всемирное время и динамическое время. Динамическое время представляет собой равномерную шкалу времени и используется в качестве независимой переменной уравнений небесной механики (динамики). В настоящий момент существует несколько шкал динамического времени, в частности:

Земное время TT (Terrestrial Time) — идеально равномерное время, которое показывают часы, расположенные на поверхности геоида. Земное время измеряется в сутках, состоящих из 86400 секунд SI (Système International) и используется в качестве независимой переменной геоцентрических эфемерид.
Международное атомное время TAI (по-французски, Temps Atomique International) — практическая реализация равномерной шкалы времени, основанная на атомных часах. Связь между TT и TAI: $\textrm{TT} = \textrm{TAI} + 32.184$ с.

Более подробно системы динамического времени и соотношения между ними описаны в [4, 5].

Всемирное время основано на явлении суточного вращения Земли и бывает солнечным или звездным. Солнечное время удобно для использования в повседневной жизни. Для наблюдения небесных тел с поверхности Земли необходимо также знать угол поворота Земли относительно точки весеннего равноденствия, т. е. звездное время.

Всемирное время UT (Universal Time) и его современная реализация UT1 представляет собой разновидности солнечного времени. Когда его вводили, то предполагалось, что средняя продолжительность суток остается неизменной. Оказалось, что это не так и реальная средняя продолжительность суток зависит от вращения Земли и длительности года. Поэтому длительность секунды UT1 не остается постоянной.

Время, которым мы пользуется в повседневной жизни, основывается на всемирном координированном времени UTC (Coordinated Universal Time). UTC отсчитывается атомными часами в том же темпе, что и TT, и является таким образом разновидностью динамического времени.

Универсального соотношения между UT1 и UTC не существует, поскольку вариации вращения Земли в настоящее время не поддаются точному прогнозированию. Поэтому UTC и UT1 согласовываются по результатам наблюдений: в отсчет UTC один или два раза в год добавляют вставную секунду. Этим обеспечивается то, что UTC никогда не отклоняется от UT1 более чем на 0.9 с : $|UTC - UT1| \leq 0^s.9$.

UTC является основой для измерения времени на всей Земле. Поверхность Земли разделена на часовые пояса, в которых гражданское время отличается от всемирного на целое (полуцелое) число часов.

Таким образом, переход от гражданского времени ко всемирному осуществляется по схеме

\begin{equation} \text{гражданское (поясное) время} \rightarrow UTC \rightarrow UT1 . \end{equation}

Вычисление всемирного времени UT1

Для расчета звездного времени на определенную эпоху, выраженную в системе всемирного координированного времени UTC, необходимо предварительно учесть поправку $\Delta$UT1 за переход от UTC к UT1

\begin{equation} \textrm{UT1} = \textrm{UTC} + \Delta\textrm{UT1}, \label{UT1} \end{equation}

а затем по полученному аргументу вычислить звездное время.

Приближенные значения поправок $\Delta$UT1 приведены в Bulletin A IERS (см. ссылку на последнюю версию Bulletin A, столбец данных UT1-UTC).

Вычисление гринвичского среднего звездного времени GMST

Основными разновидностями звездного времени являются гринвичское среднее звездное время GMST (Greenwich Mean Sidereal Time) и гринвичское истинное звездное время GAST (Greenwich Apparent Sidereal Time) (Мы рассмотрим его в пункте). GMST представляет собой угол между средней точкой весеннего равноденствия на заданную дату и гринвичским меридианом. Для заданного момента всемирного времени UT1 оно вычисляют по формуле

\begin{equation} \begin{aligned} \textrm{GMST} &= 24110^s.54841 + 8640184^s.812866\ T_0 + 1.002737909350795\ UT1 + \\ &+ 0^s.093104\ T^2 - 0^s.0000062\ T^3 , \end{aligned} \label{GMST} \end{equation}

(см. также [6]) где

\begin{equation} T_0 = \frac{JD(0^h\ UT1) - 2451545}{36525},\qquad T = \frac{JD(UT1) - 2451545}{36525}, \end{equation}

JD(UT1) — юлианская дата момента наблюдения, JD($0^h$ UT1) — юлианская дата на $0^h$ UT1 в день наблюдения, $T$ — промежуток времени в юлианских столетиях по 36525 средних солнечных суток от стандартной эпохи J2000 до рассматриваемого момента.

Источники

Монтенбрюк О., Пфлегер Т. Астрономия на персональном компьютере. Питер, 2002. 320 с.
Чазов В. В. Прогноз орбитального движения космического аппарата. 102 с. Электронная версия
Meeus J. Astronomical algorithms. 1998.
Montenbruck O., Gill E. Satellite Orbits. Models, Methods and Applications. Springer, 2005, 369 p.
Крылов В. И. Космическая геодезия. Москва: МИИГАиК, 2002. 168 с.
Методические указания. Спутники Земли искусственные. Основные системы координат для баллистического обеспечения полетов и методика расчета звездного времени. РД 50-25645.325-89. Дата введения 01.07.90. 19 c. Электронная версия

Преобразование между вращающейся и инерциальной системами отчета

Для правильного вычисления положения спутника необходимо знать не только закон его движения, но и законы изменения ориентировки в пространстве систем координат, относительно которых происходит это движение. Уравнения движения описывают движение спутника в квазиинерциальной системе координат, движущейся поступательно вместе с центром Земли. В то же время, наземные измерения положения спутника удобно выполнять в системе координат, вращающейся вместе с поверхностью Земли. Расчет силы тяготения Земли также естественно выполнять с системе координат, вращающейся вместе с Землей. Подобные неинерциальные системы координат будем называть вращающимися.

Движение Земли по гелиоцентрической орбите

Под инерциальной системой координат (ИСК) будем понимать систему координат, заданную положением экватора на эпоху J2000 (2000 г., январь 1, $12^h$ UT1). Начало системы $O$ находится в центре Земли. Ось $OX_0$ направлена в среднюю точку весеннего равноденствия данной эпохи, ось $OZ_0$ направлена перпендикулярно плоскости экватора к Северному полюсу мира (В основу сферической астрономии положено понятие небесной сферы, центр которой $O$ совпадает с началом рассматриваемой системы отсчета, а радиус может быть выбран произвольным. Прямая, проведенная через центр $O$ параллельно оси суточного вращения Земли, называется осью мира и пересекает небесную сферу в полюсах мира. Полюс мира N, расположенный ближе всего к проекции Полярной звезды на небесной сфере, называется северным полюсом мира. Подробнее — см. [2].). Заданная таким образом ИСК совпадает с фундаментальной ИСК, определенной в стандарте [1].

В качестве вращающейся будем рассматривать Гринвичскую систему координат [1], которая вращается вместе с Землей. Ее начало отсчета $O$ находится в центре Земли. Ось $OZ$ направлена к Северному полюсу мира, а ось $OX$ лежит в плоскости среднего гринвичского меридиана.

Преобразования, связанные с переходом между ИСК и вращающейся СК, выполняются в соответствии с моделями

прецессии, описывающей вековые изменения ориентировки оси вращения Земли и равноденствия;
нутации, описывающей короткопериодические возмущения экватора и смещение точки весеннего равноденствия;
звездного времени по отношению к UT1, описывающему вращение Земли вокруг своей оси.

Эти модели дополняются параметрами наблюдения за Землей (IERS Earth Observation Parameters), включающими

наблюдаемую разность $\textrm{UT1}-\textrm{TAI}$;
измеренные координаты оси вращения Земли относительно IERS Reference Pole (IERS 1998).

Переход от ИСК $OX_0Y_0Z_0$ к гринвичской системой координат $OXYZ$ выполняется по формуле

\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right] = \Pi(t) \cdot \Theta (t) \cdot N(t) \cdot P(t) \left[ \begin{array}{c} X_0\\ Y_0\\ Z_0 \end{array} \right] , \label{CT} \end{equation}

где $P(t)$ — матрица прецессии в эпоху $t$; $N(t)$ — матрица нутации в эпоху $t$; $\Theta(t)$ — матрица учета суточного вращения Земли; $\Pi(t)$ — матрица, описывающая смещение положения мгновенного полюса Земли в эпоху $t$ относительно Международного условного начала [1].

Прецессия

Земная ось и эклиптика находятся в непрерывном движении, основными причинами которого являются силы притяжения Солнца, Луны и планет. Это возмущенное движение представляется в виде суммы двух составляющих: прецессии и нутации (подробнее — см. [2], c. 349).

Движение оси Земли под влиянием Солнца, Луны и планет

Приблизительно, механизм прецессии выглядит так [3]. Солнце притягивает противоположные части экваториального избытка Земли с силами $\vec{F}_{\odot,1}$ и $\vec{F}_{\odot,2}$, причем $\vec{F}_{\odot,1} > \vec{F}_{\odot,2}$ (рис. а)). Центробежные силы, обусловленные движением Земли по гелиоцентрической орбите, приложенные к центрам инерции этих частей, равны $\vec{F}_{c,1}$ и $\vec{F}_{c,2}$, $\vec{F}_{c,1} < \vec{F}_{c,2}$. Равнодействующие $\vec{F}_i$ сил притяжения $\vec{F}_{\odot,i}$ и центробежных сил $\vec{F}_{c,i}$ приложены к центрам масс экваториальных выступов $G_i$ и направлены в противоположные стороны, образуя пару сил (рис. б)). Если разложить $\vec{F}_i$ на составляющие, параллельные и перпендикулярные к плоскости эклиптики, то перпендикулярные составляющие порождают момент вращения, стремящийся совместить плоскость экватора Земли с плоскостью эклиптики. Этот момент, в сочетании с моментом осевого вращения Земли, и вызывает, в основном, прецессионное движение оси вращения Земли.

Возникновение прецессии

Прецессия, вызванная влиянием Солнца и Луны, проявляется в непрерывном долгопериодическом движении полюса мира относительно полюса эклиптики с периодом около 26 000 лет на угловом расстоянии, равном наклону эклиптики к экватору ($23^\circ.5$, рис.). Вследствие этого движения точка весеннего равноденствия смещается к западу ежегодно примерно на $1'$.

Влияние возмущений от планет Солнечной системы на движение Земли по эклиптике проявляется в медленном вращении эклиптики (по $0''.5$ в год) относительно медленно движущейся оси вращения — диаметра средней Земли, конец которого направлен в восходящий узел мгновенной эклиптики.

Общая прецессия представляют собой сумму лунно-солнечной прецессии и прецессии от планет. Таким образом, общая прецессия порождается движением средних полюсов экватора и эклиптики.

Взаимная ориентация среднего экватора и средней точки весеннего равноденствия в эпоху $T$ по отношению к экватору и равноденствию в эпоху J2000 определяется тремя углами

\begin{equation} \begin{aligned} \zeta &= 2306^\pprime.2181 T + 0^\pprime.30188 T^2 + 0^\pprime.017998 T^3, \\ \theta &= 2004^\pprime.3109 T - 0^\pprime.42665 T^2 - 0^\pprime.041833 T^3, \\ z &= \zeta + 0^\pprime.79280 T^2 + 0^\pprime.000205 T^3, \end{aligned} \end{equation}

где

\begin{equation} T = (JD - 2451545.0)/36525.0 \end{equation}

— время в юлианских столетиях земного времени TT, прошедших с эпохи J2000 TT.

Влияние прецессии на положение эклиптики, экватора и точки весеннего равноденствия

Матрица прецессии является является комбинацией трех последовательных поворотов (рис.)

\begin{equation} \begin{aligned} P & = R_z (-90^\circ - z) R_x (\theta) R_z (90^\circ - \zeta) = \\ & = R_z (-z) R_y (\theta) R_z (-\zeta). \end{aligned} \label{precession_matrix} \end{equation}

Элементы $p_{ij}$ матрицы прецессии имеют вид

\begin{equation} \begin{aligned} p_{11} &= - \sin z \sin \zeta + \cos z \cos \theta \cos \zeta, \\ p_{21} &= + \cos z \sin \zeta + \sin z \cos \theta \cos \zeta, \\ p_{31} &= + \sin \theta \cos \zeta, \\ p_{12} &= - \sin z \cos \zeta - \cos z \cos \theta \sin \zeta, \\ p_{22} &= + \cos z \cos \zeta - \sin z \cos \theta \sin \zeta, \\ p_{32} &= - \sin \theta \sin \zeta, \\ p_{13} &= - \cos z \sin \theta, \\ p_{23} &= - \sin z \sin \theta, \\ p_{33} &= + \cos \theta . \end{aligned} \end{equation}

Положения небесных объектов, отнесенные в системе координат, определяемой экватором и эклиптикой, движущимися вследствие прецессии называются средними положениями, или — отнесенными к среднему равноденствию и экватору эпохи Т.

Приведенная матрица прецессии совпадает матрицей прецессии стандарта [1] (формула (21)).

Проверка: Long-term Almanac for Sun, Moon, and Polaris (основан на алгоритмах из [4]).

Нутация

Помимо векового прецессионного движения, ось вращения Земли испытывает коротко-периодические возмущения, известные как нутация. Поскольку гелиоцентрическая орбита Земли отличается от круговой и в первом приближении представляет собой эллипс, то расстояние Земли от Солнца периодически изменяется и, следовательно, меняется крутящий момент, действующий на Землю со стороны Солнца. Аналогичное влияние оказывает эллиптичность геоцентрической орбиты Луны. В результате на прецессию оси вращения Земли накладываются квазипериодические возмущения, называемые нутацией по долготе $\Delta\psi$ (рис.). Кроме того, несовпадение плоскости орбиты Луны с плоскостью эклиптики вызывает изменения наклона эклиптики к экватору, называемые нутацией наклона $\Delta\epsilon$.

Следует иметь в виду, что описанная выше астрономическая нутация (как и прецессия) изменяет лишь ориентировку оси вращения Земли в пространстве. В то же время, вследствие геофизических процессов (тектонических движений, перемещений масс в атмосфере и океанах), ось вращения Земли изменяет свое положение и в теле Земли. Это последнее движение также имеет характер нутации, но учитывается в движении полюсов (см. пункт).

$Нутация в долготе ($\Delta\psi$) и в наклоне ($\Delta\epsilon$)$

Нутация в долготе ($\Delta\psi$) и в наклоне ($\Delta\epsilon$)

Основное влияние нутации сказывается в периодическом смещении точки весеннего равноденствия на

\begin{equation} \Delta\psi \approx -17^\pprime.200\,\sin\Omega , \end{equation}

где $\Omega$ — средняя долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике, и в изменении на

\begin{equation} \Delta\epsilon \approx +9^\pprime.203\,\cos\Omega \end{equation}

наклона эклиптики к экватору. В результате истинный полюс мира совершает эллиптическое движение вокруг среднего положения, обусловленного прецессией.

Положения небесных объектов, отнесенные в системе координат, определяемой экватором и эклиптикой, движущимися вследствие прецессии и нутации называются истинными положениями, отнесенными к истинному равноденствию и экватору (или эклиптике) эпохи Т.

Согласно теории нутации, принятой IAU в 1980 г. (IAU 1980), нутацию в долготе $\Delta\psi$ и в наклоне $\Delta\epsilon$ определяют разложениями

\begin{equation} \begin{aligned} \Delta\psi &= \sum_{i=1}^{106} \left( A_i + B_i \cdot T \right) \cdot \sin\phi_i, \\ \Delta\epsilon &= \sum_{i=1}^{106} \left( C_i + D_i \cdot T \right) \cdot \cos\phi_i, \end{aligned} \label{nutation_series} \end{equation}

где $A_i$, $B_i$, $C_i$, $D_i$ — коэффициенты, входящие в амплитуду каждого члена нутации. Каждый член ряда представляет собой периодическую функцию средних элементов лунной и солнечной орбит с аргументом

\begin{equation} \phi_i = a_{1,i}l + a_{2,i}l^\prime + a_{3,i}F + a_{4,i}D + a_{5,i}\Omega , \end{equation}

где $a_{1,i}$ — $a_{5,i}$ — целочисленные коэффициенты. Остальные параметры — это средняя аномалия Луны $l$, средняя аномалия Солнца $l^\prime$, средний аргумент широты Луны $F$, разность средних долгот Луны и Солнца $D$ и средняя долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике $\Omega$. Разложения этих параметров имеют вид

\begin{equation} \begin{aligned} l &= 485866^\pprime.733 + 1717915922^\pprime.633 T + 31^\pprime.310 T^2 + 0^\pprime.064 T^3, \\ l^\prime &= 1287099^\pprime.804 + 129596581^\pprime.224 T - 0^\pprime.577 T^2 - 0^\pprime.012 T^3, \\ F &= 335778^\pprime.877 + 1739527263^\pprime.137 T - 13^\pprime.257 T^2 + 0^\pprime.011 T^3, \\ D &= 1072261^\pprime.307 + 1602961601^\pprime.328 T - 6^\pprime.891 T^2 + 0^\pprime.019 T^3, \\ \Omega &= 450160^\pprime.280 - 6962890^\pprime.539 T + 7^\pprime.455 T^2 + 0^\pprime.008 T^3, \end{aligned} \end{equation}

где

\begin{equation} T = (JD - 2451545.0)/36525.0 \end{equation}

— время в юлианских столетиях земного времени TT, прошедших с эпохи J2000 TT.

Значения коэффициентов $A_i$, $B_i$, $C_i$, $D_i$, $a_{1,i}$ — $a_{5,i}$ приведены в [5] (c. 24).

Для определения матрицы нутации необходимо знать также значение среднего наклона эклиптики к экватору $\epsilon$

\begin{equation} \epsilon = r_d \cdot (23.43929111-(46.8150+(0.00059-0.001813*T)*T)*T/3600.0) , \label{mean_obliq} \end{equation}

где $r_d = \pi / 180$.

Следуя рис., преобразование средних координат (т. е. относящихся к среднему экватору и равноденствию) в истинные (относящиеся к истинному экватору и равноденствию) выполняется матрицей нутации

\begin{equation} N(T) = R_x(-\epsilon-\Delta\epsilon) R_z (-\Delta\psi) R_x (\epsilon) , \label{nutation_matrix} \end{equation}

элементы которой $n_{ij}$ имеют вид

\begin{equation} \begin{aligned} n_{11} &= +\cos \Delta\psi, \\ n_{21} &= +\cos \epsilon^\prime \sin \Delta\psi, \\ n_{31} &= +\sin \epsilon^\prime \sin \Delta\psi, \\ n_{12} &= -\cos \epsilon \sin \Delta\psi, \\ n_{22} &= +\cos \epsilon \cos \epsilon^\prime \cos \Delta\psi + \sin \epsilon \sin \epsilon^\prime, \\ n_{32} &= +\cos \epsilon \sin \epsilon^\prime \cos \Delta\psi - \sin \epsilon \cos \epsilon^\prime, \\ n_{13} &= -\sin \epsilon \sin \Delta\psi, \\ n_{23} &= +\sin \epsilon \cos \epsilon^\prime \cos \Delta\psi - \cos \epsilon \sin \epsilon^\prime, \\ n_{33} &= +\sin \epsilon \sin \epsilon^\prime \cos \Delta\psi + \cos \epsilon \cos \epsilon^\prime, \end{aligned} \end{equation}

где $\epsilon^\prime = \epsilon + \Delta\epsilon$, — истинный наклон эклиптики к экватору.

Изменение положения экватора, эклиптики и точки весеннего равноденствия, вызванное нутацией

Последующие исследования показали, что модель нутации IAU 1980 содержит ошибки величиной порядка $10^{-6}$ угловых секунд и была предложена усовершенствованная теория нутации (IAU 2006/2000A (Capitaine et al., 2009)). Тем не менее, ряды IAU 1980 используются в расчетах, а существующие отклонения от наблюдаемых значений компенсируются внесением поправок за смещение полюса мира (celestial pole offsets) $\delta\Delta\psi_{1980}$ и $\delta\Delta\epsilon_{1980}$. Уточненные параметры нутации равны

\begin{equation} \begin{aligned} \Delta\psi &= \Delta\psi_{IAU 1980} + \delta\Delta\psi_{1980} , \\ \Delta\epsilon &= \Delta\epsilon_{IAU 1980} + \delta\Delta\epsilon_{1980} . \end{aligned} \end{equation}

Уточненная матрица нутации имеет вид

\begin{equation} N = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\delta\Delta\psi_{1980} \cos \epsilon & -\delta\Delta\psi_{1980} \sin \epsilon \\ +\delta\Delta\psi_{1980} \cos \epsilon & 1 & -\delta\Delta\epsilon_{1980} \\ +\delta\Delta\psi_{1980} \sin \epsilon & +\delta\Delta\epsilon_{1980} & 1 \end{array} \right) N_{IAU 1980} . \end{equation}

Исторические значения и краткосрочные прогнозы поправок $\delta\Delta\psi_{1980}$ и $\delta\Delta\epsilon_{1980}$ ежемесячно публикуются в Bulletin B of the IERS (раздел Monthly earth orientation data) наряду с поправками для более современной теории нутации IAU 1996.

Упрощенный расчет нутации

С точностью до членов порядка $0''.1$ (или $10^{-6}$) значения нутации в долготе $\Delta\psi$ и нутации в наклоне $\Delta\epsilon$ вычисляют по формулам

\begin{equation} \begin{aligned} \Delta\psi &= -17^\pprime.1996 \sin\Omega + 0^\pprime.2062 \sin2\omega - 1^\pprime.3187 \sin2(F - D + \Omega) + \\ &+ 0^\pprime.1426 \sin l^\prime - 0^\pprime.2274 \sin2(F + \Omega), \\ \Delta\epsilon &= 9^\pprime.2025 \cos\Omega + 0^\pprime.5736 \cos2(F - D + \Omega) + 0^\pprime.0977 \cos2(F + D). \end{aligned} \end{equation}

При этом матрица нутации с точностью до малых членов порядка $10^{-8}$ имеет вид

\begin{equation} N(T) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\Delta\psi\cos\epsilon^\prime & -\Delta\psi\sin\epsilon^\prime \\ \Delta\psi\cos\epsilon^\prime & 1 & -\Delta\epsilon \\ \Delta\psi\sin\epsilon^\prime & \Delta\epsilon & 1 \end{array} \right). \end{equation}

Выражение для рядов приведено в [1], однако таблица коэффициентов рядов (Приложение 3, процедура НУТАС) содержит ошибки. Точное значение коэффициентов приведено в [5] (c. 24) или в документе (с. 15).

В [6] для упрощенного выражения нутации приведены более сложные формулы, но не указана точность приближения.

Проверка: Long-term Almanac for Sun, Moon, and Polaris.

Форма ряда и значения коэффициентов модели нутации 2000 г. приведены в таблице.

Вращение Земли

Звездное время

Звездное время на меридиане места наблюдения измеряют часовым углом между точкой весеннего равноденствия и меридианом наблюдателя. Гринвичское истинное (видимое) звездное время GAST (Greenwich Apparent Sidereal Time) измеряется часовым углом истинной точки весеннего равноденствия относительно гринвичского меридиана и связано со средним звездным временем GMST соотношением

\begin{equation} \textrm{GAST} = \textrm{GMST} + \Delta\psi \cos\epsilon, \label{GAST} \end{equation}

где $\Delta\psi$ — нутация по долготе в эпоху $T$, вычисляемая по первой из формул (\ref{nutation_series}), $\epsilon$ — средний наклон эклиптики к экватору (\ref{mean_obliq}).

Проверка: web based Sidereal time calculator.

Матрица суточного вращения Земли

Матрица вращения Земли является матрицей поворота вокруг оси $OZ$ на угол, равный значению истинного звездного времени GAST

\begin{equation} \Theta(t) = R_z(\textrm{GAST}) = \left( \begin{array}{lll} \cos\textrm{GAST} & \sin\textrm{GAST} & 0 \\ -\sin\textrm{GAST} & \cos\textrm{GAST} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right). \label{earth_rot} \end{equation}

Смещение полюса

Матрица смещения полюса $\Pi(t)$ равна [6]

\begin{equation} \Pi(t) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & +x_p \\ 0 & 1 & -y_p \\ -x_p & +y_p & 1 \end{array} \right) . \label{pole_rot} \end{equation}

Значения $x_p$, $y_p$ на нужную дату берутся из бюллетеня А IERS или по ссылке, столбцы $x$ и $y$.

Последовательность расчета

Момент времени задается календарной датой (число/месяц/год) и временем UTC. После этого выполняются следующие вычисления

По времени UTC вычислим UT1, с учетом поправки $\Delta$UT — (\ref{UT1}).
По календарной дате и времени UT1 вычислим юлианскую дату JD — (\ref{MJD}).
Вычислим матрицу прецессии $P(t)$ — (\ref{precession_matrix}).
Вычислим параметры нутации $\Delta\psi$ и $\Delta\epsilon$ — (\ref{nutation_series}).
Пользуясь параметрами нутации, вычислим матрицу нутации $N(t)$ — (\ref{nutation_matrix}).
Вычислим среднее звездное время GMST на заданные юлианскую дату JD и время UT1 — (\ref{GMST}).
По найденным GMST, нутации по долготе (\ref{nutation_series}) и среднему наклону эклиптики к экватору $\epsilon$ (\ref{mean_obliq}), вычислим истинное звездное время GAST — (\ref{GAST}).
По истинному звездному времени GAST вычислим матрицу вращения Земли $\Theta(t)$ — (\ref{earth_rot}).
Считываем координаты полюса $x_p$, $y_p$ из бюллетеня А IERS.
Пользуясь $x_p$, $y_p$, вычислим матрицу смещения полюса $\Pi(t)$ — (\ref{pole_rot}).
Перемножая $P$, $N$, $\Theta$ и $\Pi$, вычислим матрицу перехода от ИСК к гринвичской СК (\ref{CT}).

Источники

Методические указания. Спутники Земли искусственные. Основные системы координат для баллистического обеспечения полетов и методика расчета звездного времени. РД 50-25645.325-89. Дата введения 01.07.90. 19 c. Электронная версия
Жаров В. Е. Сферическая астрономия. Фрязино, 2006. 480 с.
Абалакин В. К. Основы эфемеридной астрономии. М.: Наука, 1979. 448 с.
Meeus J. Astronomical algorithms. 1998.
IERS Conventions (1996) – IERS Technical Note // U.S. Naval Observatory, 1996. Vol. 21. 95 p. Электронная версия
Montenbruck O., Gill E. Satellite Orbits. Models, Methods and Applications. Springer, 2005, 369 p.

Измерение времени и переход к инерциальной системе координат

Измерение времени

Преобразование дат

Вычисление модифицированной юлианской даты по календарной дате

Вычисление календарной даты по модифицированной юлианской дате