Математические методы и модели

2016-2017, II семестр

Все мы используем компьютерные программы, а значит, и заложенные в них математические модели. Сегодня вы — пользователь модели. Познакомившись с тем, какие виды моделей используют в современной науке и технике, вы расширите свой кругозор. и научитесь грамотно применять полученные другими результаты. Например, узнаете какая информация должны содержаться в статье о влиянии кофе на сосуды, чтобы приведенным там данным можно было доверять. В будущем вы можете выступать уже в роли заказчика модели и перед вами возникнут новые вопросы: что должна содержать модель, чтобы ею можно было пользоваться? как должны выглядеть результаты ее работы? на какую точность результатов можно рассчитывать?

Математические модели постоянно эволюционируют. Происходит это даже в областях науки, которые имеют многовековую историю. Чтобы поспевать за этими изменениями, нужно представлять какие причины вызывают трансформацию моделей, их развитие. Поэтому, параллельно с рассмотрением самих моделей, мы будем пытаться проследить изменения, которые с ними происходили и причины, вызвавшие эти изменения.

Файлы презентаций, заданий и исходного кода находятся в OneDrive.

1. Модель и моделирование

Что такое модель и зачем нужны модели (прогнозирование, объяснение). Какими бывают модели (макетирование, имитационное моделирование). Процесс принятия решений и место модели в нем (что дает модель: варианты, оценки).

2. Этапы математического моделирования

Процесс построения модели на примере простейшей модели народонаселения (модели Мальтуса). Работа с моделью (исследование). Анализ границ применимости модели. Недостатки модели Мальтуса и ее развитие (Модель Ферхюльста). Перечень допущений — неотъемлемая составляющая модели.

Элементы научной публикации: резюме (что содержится в тексте, зачем это читать), выводы (полученные результаты и перспективы их развития).

Интересно: логистическое отображение (модель Ферхюльста) и детерминированный хаос.

3. Дифференциальные уравнения

Переход от разностной модели к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ, на примере модели Мальтуса). Аналитическое решение. Модель Ферхюльста. Что дает аналитическое решение: экономия усилий и ресурсов, направленных на расчеты.

Области применения ДУ. Поиск аналитических решений. Что находится за ним.

4. Системная динамика: наглядные уравнения

Рост требований к моделям и к специалистам, которые их разрабатывают. Другое представление дифференциальных уравнений: системная динамика. Петли обратной связи.

Проблемы: где пространство?

5. Добавляем пространственные измерение: дифференциальные уравнения в частных производных

Построение модели (уравнение диффузии). Аналитическое решение. Что делать, если аналитического решения нет. Метод конечных разностей. Программа на Matlab'е.

Область распространения ДУЧП (гидродинамика). Каждый метод хорош в своей области. Проблемы переноса наработок в другие области науки.

6. Клеточные автоматы

Идея: если аналитического решения все равно нет, то можно сразу создавать модель из малых, но конечных фрагментов: клеточные автоматы (клетки пространства, состояние которых изменяется по заданным правилам). Игра "Жизнь".

Как трансформируется "старая" наука: совершенствование описания отдельной силы или свойств материала (на примере закона Гука); методы молекулярной динамики.

7. Компьютерные игры для ученых: агентное моделирование

Добавим к неподвижным "клеткам" подвижных агентов - получим возможность моделировать неоднородные системы. Как из простых правил для единиц возникают сложные коллективные взаимодействия. Компьютерная анимация: boids. Модели социологии и экономики: Sugarscape. Попытки моделирования истории.

Откуда берутся правила: деревья принятия решений.

Итоги: область распространения агентного моделирования. Пересекается с искусственным интеллектом в комп. играх (читайте Рассела и Норвига): конечные автоматы, цепи Маркова.

8. Судим о целом по его части: проверка статистических гипотез

Нулевая и альтернативная гипотеза. Практическая уверенность. Проверка гипотезы о средних. Как выглядит результат проверки. Что если все же верна альтернативная гипотеза? Ошибки 1-го и 2-го рода. Их взаимосвязь. Что делать? Чем занимаются ученые (статистики совершенствуют критерии, уменьшая ошибку 2-го рода; остальные: перемеряют, улучшают и получают новые результаты).

Итоги: как должны выглядеть итоги проверки гипотезы, чтобы вы могли судить о ее результатах.

9. Регрессионный анализ: чем полезен "черный ящик"

"Черный ящик" со входами и выходами. Модель цен на недвижимость в Альбукерке. Где мы можем "доверять" модели: доверительный интервал. Проблемы: пример Бернарда Шоу, производство молока без коров.

Области применения: медицина, биология. Там где само по себе обнаружение зависимости - большое достижение.

10. Компьютерная имитация: как компьютер изменил подход к моделированию

Рост потребностей в вычислениях и попытки решения проблемы (Р. Фейнман, воспоминания о Манхэттенском проекте из "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!"). Аналоговые машины. Компьютер (цифровой) удешевляет арифметические действия. Появление специфически компьютерных методов вычислений. Методы Монте-Карло. Методы молекулярной динамики. Особенности компьютерной арифметики.

Итоги: области применения аналоговых машин (в том числе суперкомпьютеры). В широком смысле: имитационное моделирование (физика, техника), в узком — везде, где используются датчики случайных чисел.

11. Исследование операций

Линейное программирование: Транспортная задача и причины ее появления. Задача о назначениях. Решение методом Монте-Карло. Графы и сетевые модели. Метод PERT: как распределить работы. От порядка работ к диаграмме Гантта.